“സോഷ്യൽ മീഡിയയിൽ പാഴാക്കുന്ന ഓരോ മിനിറ്റിലും നിനക്കു് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻസ് സോൾവ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമായിരുന്നു.” – ഐസക്ക് ന്യൂട്ടൺ. (04. 01. 1643 – 31. 03. 1727).🙂

ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻസ് എന്നാൽ എന്താണു് എന്നറിയാത്തവർക്കായി, ചത്തോ അതോ ജീവിക്കുന്നോ എന്നു് ദൈവത്തിനും, കരിമണൽ കർത്താവിനും, പിന്നെ ഹേഡ് കുട്ടൻപിള്ള സാറിനും മാത്രമറിയാവുന്ന “ക്വാണ്ടം പൂച്ചയുടെ” യജമാനൻ സഹാവു് എർവിൻ ഷ്ര്യോഡിങ്ങറുടെ ടൈം ഡിപെൻഡന്റ് ആയതും, ടൈം ഇൻഡിപെൻഡന്റ് ആയതുമായ രണ്ടു് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനുകൾ ഇവിടെ കൊടുക്കുന്നു.

ഇതുപോലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോൺസ്റ്ററുകളിൽ മനുഷ്യൻ എങ്ങനെ എത്തിച്ചേരുന്നു എന്നു് അത്ഭുതപ്പെടുന്നവർക്കു് ആശ്വസിക്കാം. അത്ര ദുർഘടമല്ല അവിടേയ്ക്കുള്ള വഴി. (പിണറായിപ്പാർട്ടിയിൽ ഒരു ചാവേർ അംഗത്വം ലഭിക്കൽ അതിനേക്കാൾ എത്രയോ ദുർഘടമാണു്!)

കൈനറ്റിക് എനർജ്ജി + പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജ്ജി = ടോട്ടൽ എനർജ്ജി (കോൺസെർവേഷൻ ഓഫ് എനർജ്ജി നിയമം). അവിടെയാണു് തുടങ്ങേണ്ടതു്.

½mv² + V (x) = E

[സത്യത്തിൽ, മൂന്നു് ദിശകളും ഉൾപ്പെടുത്തി V (x, y, z) എന്നാണു് വേണ്ടതു്. എളുപ്പത്തിന്റെ പേരിൽ ഇവിടെ ഒരു ദിശ മാത്രം എടുക്കുന്നു.]

മൊമെന്റം p = mv ആയതിനാൽ, ½mv² = p²/2m

അതുപോലെ, p = -ℏd²/dx² ആയതിനാൽ,

-ℏd²/2mdx² + V (x) = E

[ℏ = Planck constant ℎ over two pi]

ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തുമുള്ള ടേമുകളെ Ψ (ഗ്രീക്ക് അക്ഷരമാലയിലെ Psi) എന്നു് പേരിട്ടിരിക്കുന്ന വേവ് ഫങ്ക്ഷൻ (wave function) കൊണ്ടു് ഗുണിച്ചാൽ ഷ്ര്യോഡിങ്ങറുടെ ടൈം ഇൻഡിപെൻഡന്റ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനായി:

-ℏ∂²Ψ (x)/2m∂x² + V (x).Ψ (x) = E.Ψ (x)

എർവിൻ ഷ്ര്യോഡിങ്ങറുടെ “തീർത്ഥയാത്ര” തീർച്ചയായും ഇത്രത്തോളം എളുപ്പമായിരുന്നിരിയ്ക്കില്ല. ഒരാൾ വെട്ടിത്തെളിച്ച വഴിയെ നടക്കൽ എപ്പോഴും എളുപ്പമാണല്ലോ.

അല്പം മാക്സ്വെൽ, അല്പം ഐൻസ്റ്റൈൻ, അല്പം ഡി ബ്രോഗ്ലി, അല്പം ഇമാജിനറി നമ്പർ ഇത്യാദി ചേരുവകളിലൂടെ, ഇതേ രീതിയിൽത്തന്നെ കോൺസെർവേഷൻ ഓഫ് എനർജ്ജി നിയമത്തിൽ ആരംഭിച്ചു് ഷ്ര്യോഡിങ്ങറുടെ ടൈം ഡിപെൻഡന്റ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനിലും എത്തിച്ചേരാം.

[കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഷ്ര്യോഡിങ്ങറുടെ ടൈം ഡിപെൻഡന്റ് ഇക്വേഷൻ പൂർണ്ണമായും ശരിയല്ല. ശരിയല്ല എന്നാൽ, പ്രകാശവേഗത കോൺസ്റ്റന്റായ ഐൻസ്റ്റൈന്റെ സ്പെഷ്യൽ റിലേറ്റിവിറ്റി തിയറി പ്രകാരം, സ്ഥലവും കാലവും (space and time) ഒരേപോലെ പരിഗണിക്കപ്പെടേണ്ടതുണ്ടു്. ടൈം ഡിപെൻഡന്റ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ, സ്പെയ്സ് രണ്ടുവട്ടം ഡിഫറൻഷ്യേറ്റ് ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ, സമയം ഒരുവട്ടം മാത്രമാണു് ഡിഫറൻഷ്യേറ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നതെന്നു് കാണാൻ കഴിയും. ടൈം ഇൻഡിപെൻഡന്റ് ഇക്വേഷൻ കുറഞ്ഞ വേഗതകളിൽ അന്യൂനമാണെങ്കിലും, പ്രകാശത്തിന്റേതുപോലുള്ള ഉയർന്ന വേഗതകളിൽ പ്രവർത്തനക്ഷമമല്ല, അഥവാ അതു് “Lorentz invarient” അല്ല.]

{The partial derivative symbol “∂” (often called “del”, “partial”, or “curly d”) is used in multivariable calculus to measure the rate of change of a function with respect to one variable while holding all other input variables constant.}