തെളിഞ്ഞ സൂര്യപ്രകാശമുള്ള ഒരു മദ്ധ്യാഹ്നത്തിൽ കേംബ്രിഡ്‌ജിലെ ഒരു ആപ്പിൾ മരത്തിന്റെ ചുവട്ടിൽ ഓരോരോ കാര്യങ്ങളൊക്കെ ചിന്തിച്ചു് ഇരിക്കുകയായിരുന്ന ന്യൂട്ടന്റെ തലയിലേക്കു്, “മോങ്ങാനിരുന്ന പട്ടിയുടെ തലയിൽ” എന്നപോലെ, ഒരു തേങ്ങ വീഴുകയും, ന്യൂട്ടൺ “ശ്ശെട!” എന്നു് പച്ചമലയാളത്തിൽ ആശ്ചര്യപ്പെട്ടു് തല തിരുമ്മുകയും ചെയ്തപ്പോഴുണ്ടായ കാരണഭൂതോദയമാണു് ന്യൂട്ടൺസ് ലോ ഓഫ് യൂണിവേഴ്സൽ ഗ്രാവിറ്റേഷനിലേക്കു് നയിച്ചതെന്നൊരു ധാരണ ഐസക്ക് ന്യൂട്ടൺ ഫാൻ ക്ലബ്ബിൽ അംഗങ്ങളായ ബ്വായ്സ് ആൻഡ് ഗ്വേൾസിനിടയിൽ വളരെ ശക്തമാണു്. അതത്ര ശരിയായ ഒരു ധാരണയല്ല. ആപ്പിൾ മരത്തിന്റെ മൂട്ടിൽ ഇരിക്കുമ്പോൾ പൊടുന്നനെ ഒരു മാങ്ങ വന്നു് ന്യൂട്ടന്റെ തൊട്ടുമുന്നിലേയ്ക്കു് വീഴുകയും, ഒരു മാങ്ങയ്ക്കു് ഭൂമിയിലേയ്ക്കു് വീഴാമെങ്കിൽ, ഒരു ഭൂമിയ്ക്കു് എന്തുകൊണ്ടു് മാങ്ങയിലേയ്ക്കു് വീണുകൂടാ എന്ന ചിന്ത ന്യൂട്ടനെ മഥിക്കാൻ തുടങ്ങുകയും, ആ പാലാഴിമഥനം ഗുരുത്വ(ദോഷാ)കർഷണനിയമത്തിലേക്കു് കൾമിനെയ്റ്റ് ചെയ്യുകയുമായിരുന്നു എന്നതാണു് ചരിത്രപരമായ സത്യം. മമ്മദ് മലയുടെ അടുത്തേയ്ക്കു് ചെല്ലുന്നതുപോലെ, “മലക്കു്” മമ്മദിന്റെ അടുത്തേയ്ക്കും ചെന്നുകൂടെന്നില്ലല്ലോ എന്നാണു് അതു് കണ്ടപ്പോൾ ന്യൂട്ടൺ ആഴത്തിൽ ചിന്തിച്ചതു്.

കാക്ക തലയിൽ തൂറുന്നതു് ഭാഗ്യമായതിനാൽ, കാക്കക്കാഷ്ഠം കാക്കക്കാഷ്ഠത്തളമാകാതിരിക്കാൻ, താമസംവിനാ തലകഴുകി ബുദ്ധികേന്ദ്രമായ തലയെ കാഷ്ഠവിമുക്തമാക്കുന്നതിനേക്കാൾ, ഓടിപ്പോയി ഒരു ലോട്ടറി ടിക്കറ്റ് വാങ്ങി കോടീശ്വരനാകാൻ തിടുക്കപ്പെടുന്നവരുടെ ലോകം ഓഷോ വചനങ്ങളാലും, പ്രാർത്ഥനാഗാനങ്ങളാലും, ഇങ്ക്വിലാബ് സിന്ദാബാദ് വിളികളാലും നിത്യം മുഖരിതമാണു്. ആ ലോകത്തിൽ, ആരോ ഛർദ്ദിച്ചെന്നും, അതിൽ “വെളുത്ത കറുത്തമ്മയുടെ മുഖത്തെ കറുത്ത മറുകുപോലെ” ഒരു കുഞ്ഞൻ കഷണം ഉണ്ടായിരുന്നെന്നുമുള്ള സുപ്രധാനസത്യവാർത്ത, തൊട്ടയല്പക്കത്തു് ആരോ മൂന്നു് കാക്കകളെ ഛർദ്ദിച്ചു എന്ന സെൻസേഷണൽ വ്യാജവാർത്തയായി രൂപാന്തരപ്പെടാൻ മൂന്നു് ദിവസം ധാരാളമാണു്. അത്തരം ലോകങ്ങളിൽ, മരിച്ചു് കല്ലറയിലടക്കപ്പെട്ട ദൈവപുത്രനായ യേശു മൂന്നാം ദിവസം ഉയിർത്തെഴുന്നേൽക്കും, ചില അമേരിക്കൻ ക്യാപ്പിറ്റലിസ്റ്റ്സ് ഒറ്റയിരുപ്പിൽ 68 ചൂടൻ പട്ടികളെ തിന്നുതീർക്കും. തീറ്റപ്പാർട്ടി ദേഷ്യത്തിലാണെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതലും തിന്നും.

മരത്തിൽ നിന്നു് മാങ്ങയും തേങ്ങയും ചക്കയുമെല്ലാം വീഴുന്നതു് നമ്മളും കാണാറുണ്ടെങ്കിലും, നമ്മളാരും അതിൽ ഒരു യൂണിവേഴ്സൽ ലോ ഓഫ് ഗ്രാവിറ്റേഷൻ ഒളിഞ്ഞിരിക്കുന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കാറില്ല. ന്യൂട്ടൻ അങ്ങനെ ചെയ്തതു്, അങ്ങേർതന്നെ പറഞ്ഞതുപോലെ, ഉന്നതരായ പലരുടെ തോളുകളിൽനിന്നു് ദൂരേയ്ക്കു് നോക്കാൻ അങ്ങേർക്കു് കഴിഞ്ഞതുകൊണ്ടാണു്. കുണ്ടുകുളത്തിലെ വാല്മാക്രിക്കു് കാണാൻ കഴിയുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ ദൂരത്തേക്കു് കുന്നുംപുറത്തു് നിന്നു് സുവർക്കത്തിലേക്കു് നോക്കി ഓരിയിടുന്ന നീലക്കുറുക്കനു് കാണാൻ കഴിയുമെന്ന കാര്യത്തിൽ ഒരു തർക്കം വേണ്ടല്ലോ.

മനുഷ്യർ പലവിധമാണു്. അവരിൽ ചിലരെ തലയിൽ കയറ്റിയാൽ അവർ തലയിലിരുന്നു് ചെവി തിന്നും. ബീഫും പൊറോട്ടയും കഴിഞ്ഞാൽ, ലോകത്തിൽ ഏറ്റവും രുചികരമായ ഭക്ഷണം മനുഷ്യരുടെ ചെവികളാണെന്ന നിലപാടുകാരാണവർ. അതേസമയം, കൽപ്പരശു വിം ജ്യോങ് ഉന്നിനെ തലയിൽ കയറ്റിയാൽ, അവൻ തന്നെത്തന്നെ ഫ്രഞ്ച് കിങ് ലൂയി പതിനാറാമനും, റഷ്യൻ ത്സാർ നിക്കോളായ് അലെക്സാൻഡ്രോവിച്ച് റൊമാനോവിനും തുല്യനായി കരുതുന്നവനും, കള്ളത്തരത്തിനും കാട്ടാളത്തത്തിനും സാഡിസത്തിനും സംസ്കാരശൂന്യതയ്ക്കും കയ്യും കാലും വച്ച ഒരു കണ്ണൂരിസ്റ്റ്-കമ്മ്യൂണിസ്റ്റ് കരിംകൂതി ആയതിനാലും, ഒരു തുരപ്പനെപ്പോലെ ഇടം കൊടുത്തവന്റെ ചെവി തുരന്നു് തലയ്ക്കുള്ളിലേയ്ക്കു് ഇടിച്ചു് കയറി തന്റെ കരിംകാറും, എലിക്കോപ്പ്-താറും അമിഗ്ദലയിൽ പാർക്ക് ചെയ്യുകയും, സിൽവർ ലൈൻ നിർമ്മിക്കുകയും, ക്രിമിനലുകളുടെയും കൊലപ്പുള്ളികളുടെയും സജീവസാന്നിദ്ധ്യത്തിൽ ലോകസമാധാനസമ്മേളനം നടത്തുകയും ചെയ്യും. പക്ഷേ, ന്യൂട്ടനെ തോളിൽ കയറ്റിയാൽ അയാൾ അവിടെയിരുന്നു് കഴിയുന്നത്ര ദൂരേയ്ക്കു് നോക്കി മനുഷ്യരാശിക്കു് പ്രയോജനമുള്ള എന്തെങ്കിലുമൊക്കെ ഗഹനമായ ശാസ്ത്രസത്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കും.

പൈതാഗൊറസ് (570 – 495 BC), റ്റ്യുക്കൊ ബ്രാഹ (1546 – 1601), യൊഹാന്നസ് കെപ്ലർ (1571 – 1630), ഗാലീലെയോ ഗാലീലൈ (1564 – 1642), ക്രിസ്റ്റ്യാൻ ഹൊയ്ഹൻസ് (1629 – 1695) ഇത്യാദി ബകന്മാരും ഭീമന്മാരുമെല്ലാമാണു് ഐസക്ക് ന്യൂട്ടൺ (1643 – 1727) പ്രധാനമായും കയറിനിന്ന തോളുകളുടെ രജിസ്റ്റേർഡ് ഉടമകൾ. അവരുടെയെല്ലാം തോളുകളിലിരുന്നു് അച്ചങ്ങായി ഒപ്പിച്ച പണികൾ എന്തെല്ലാമെന്നു് നോക്കാം.

ചക്രവാളം കടന്നുവരുന്ന ഒരു കപ്പലിനെ കടൽത്തീരത്തു് നിന്നുകൊണ്ടു് വീക്ഷിക്കുന്ന ഒരാൾ ആദ്യം കൊടിമരവും ക്രമേണമാത്രം കപ്പലിന്റെ ഉടലും കാണുന്നതിൽ നിന്നും ഭൂമിയുടെ ഗോളാകൃതി നിഗമിക്കാമെന്നു്, പരന്നഭൂമി സിദ്ധാന്തം പഠിപ്പിക്കുന്ന സ്കൂളുകളിൽ പഠിക്കാനുള്ള ഭാഗ്യം സിദ്ധിക്കാത്തവരിൽ ചിലരെങ്കിലും പഠിച്ചിട്ടുണ്ടാവും. ഈ വസ്തുത ഉപയോഗിച്ചു് കടൽത്തീരത്തു് നിൽക്കുന്ന ഒരാൾക്കു് പരമാവധി കാണാൻ കഴിയുന്ന ചക്രവാളത്തിലേക്കുള്ള ദൂരവും കണക്കാക്കാം. ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിൽ കർണ്ണനീളത്തിന്റെ (hypotenuse) വർഗ്ഗം മറ്റു് രണ്ടു് വശനീളങ്ങളുടെ (adjacent sides) വർഗ്ഗത്തിന്റെ തുകയ്ക്കു് തുല്യമാണെന്ന പൈതാഗൊറസിന്റെ (Pythagoras) തിയറവും ബൈനോമിയൽ തിയറവും ഉപയോഗിക്കുകയേ വേണ്ടൂ. (ചിത്രം കാണുക).

പൈതാഗൊറസ് തിയറപ്രകാരം: AB² + BC² = (AD + DC)² => AD² + 2AD.DC + DC² (ബൈനോമിയൽ തിയറം)

കഷ്ടി 6400 കിലോമീറ്റർ വരുന്ന ഭൂമിയുടെ റേഡിയസുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, മനുഷ്യന്റെ ഏകദേശ ഉയരമായ ഒന്നരമീറ്റർ (DC) വളരെ ചെറുതായതിനാൽ അതിന്റെ വർഗ്ഗമായ DC² പ്രശ്നമില്ലാതെ അവഗണിക്കാൻ കഴിയും. കൂടാതെ, AB = AD ആയതിനാൽ, വെട്ടലിനും ചുരുക്കലിനും ശേഷം, BC² = 2AD.DC, അഥവാ BC = √(2AD.DC) എന്നു് കിട്ടും. = √(2x 6400 x 0,0015). അതായതു്, ഏകദേശം നാലര കിലോമീറ്ററാണു് തീരത്തു് നിൽക്കുന്ന, ശരാശരി ഉയരമുള്ള ഒരു മനുഷ്യനു് കാണാൻ കഴിയുന്ന ചക്രവാളത്തിലേക്കുള്ള പരമാവധി ദൂരം.

ഇതേ ഗണിതം ഉപയോഗിച്ചാണു് നേർരേഖയിലുള്ള ചലനത്തെ, ഗ്രഹങ്ങളുടെ ചലനം പോലെ വൃത്താകൃതിയിലാക്കാൻ വേണ്ട ഒരു ശക്തി ക്രിസ്റ്റ്യാൻ ഹൊയ്ഹൻസ് (Christiaan Huygens) അനുമാനിച്ചതു്. സൂര്യനെ ചുറ്റുന്ന ഭൂമി ഉദാഹരണമായി എടുക്കാം. ആ ഗണിതം എഴുതാനും മനസ്സിലാക്കാനുമുള്ള എളുപ്പത്തിനായി ചിത്രത്തിലെ മട്ടത്ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ ഒന്നു് പുനർനാമകരണം ചെയ്യുന്നു:
A = സൂര്യൻ. B = ഭൂമി.
AB = AD = ഭൂമി സൂര്യനെ ചുറ്റുന്ന ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ റേഡിയസ് = R.
BC = ഭൂമി നേർരേഖയിൽ, v വേഗതയിൽ ചലിച്ചിരുന്നെങ്കിൽ t സമയം കൊണ്ടു് പിന്നിടുമായിരുന്ന ദൂരം = v.t
DC = ഭൂമിയ്ക്കു് ഭ്രമണപഥത്തിലേക്കു് മടങ്ങിവരാൻ വേണ്ട ദൂരം = x
(ശ്രദ്ധിക്കുക: 1). ചിത്രത്തിലെ ദൂരങ്ങൾ യഥാർത്ഥദൂരങ്ങളുടെ സ്കെയിലിലല്ല. 2). മുകളിലെ കണക്കിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായി, ഇവിടെ നമ്മൾ കണക്കാക്കുന്നതു് BC അല്ല, DC, അഥവാ x ആണു്)

പൈതാഗൊറസ് തിയറപ്രകാരം: R² + v²t² = (R+x)² = R² + 2Rx + x² (ബൈനോമിയൽ തിയറം)
രണ്ടുവശത്തുമുള്ള R²-നെയും, നെഗ്ലിജിബ്ലി ചെറുതായ x²-നെയും ഒഴിവാക്കുമ്പോൾ: v²t² = 2Rx, അഥവാ x = ½ (v²/R) t².

x = ½ (v²/R) t² – (1)

ഇതിൽ നിന്നും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ബാഹ്യശക്തികളുടെ ഇടപെടലൊന്നും ഇല്ലാതെ നേർരേഖയിൽ യൂണിഫോം ആയി ചലിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഭൂമിക്കു് x ദൂരം സഞ്ചരിച്ചു് വൃത്താകാരമായ ഭ്രമണപഥത്തിലേക്കെത്താൻ ഒരു “ഇടപെടൽ”, ഒരു “ഉൾവലിക്കൽ ശക്തി” (F) ആവശ്യമാണു്.

ബാഹ്യമായ ശക്തിയുടെ ഇടപെടലില്ലാതെ നേർരേഖയിൽ യൂണിഫോം ആയി ചലിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡത്തിനും (m) വേഗതയ്ക്കും (v) മാറ്റം ഉണ്ടാകുന്നില്ലാത്തതിനാൽ, അവ തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം, അഥവാ, മൊമെന്റം കോൺസ്റ്റന്റ് (c) ആയിരിക്കും. m.v = c. അക്കാലത്തു്, സമയവും പിണ്ഡവുമെല്ലാം മാറ്റമില്ലാത്തവയായി കരുതപ്പെട്ടിരുന്നതിനാൽ, നേർരേഖയിലുള്ള ചലനത്തെ ഒരു ഭ്രമണമാക്കി മാറ്റാൻ വസ്തുവിന്റെ വേഗതയിൽ മാറ്റം സംഭവിക്കണം. ഭ്രമണത്തിൽ മൊമെന്റം (m.v) കോൺസ്റ്റന്റായിരിക്കില്ല എന്നു് ചുരുക്കം. വേഗതയിൽ വരുന്ന മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണു് ആക്സെലറേഷൻ (a) എന്നതിനാൽ, F = m.a ആയിരിക്കുമെന്നു് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും.

F = m.a – (2)

(വേഗത എന്നതുകൊണ്ടു് ഇവിടെ ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു് മൂല്യവും ദിശയുമുള്ള, vector quantity ആയ velocity-യാണു്, മൂല്യമുള്ള, ദിശയില്ലാത്ത scalar quantity ആയ speed അല്ല.)

ഇനി, ഈ വിഷയത്തിൽ ഗാലീലെയോ ഗാലീലൈ (Galileo Galilei) എന്താണു് പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതെന്നു് നോക്കാം:

ഭാരം കൂടിയ വസ്തുക്കൾ താഴേക്കു് വീഴുന്നതു് ഭാരം കുറഞ്ഞ വസ്തുക്കളെക്കാൾ കൂടിയ വേഗതയിലാണെന്ന അരിസ്റ്റോട്ടിലിന്റെ തത്വത്തിനു് ഉലച്ചിൽ തട്ടാൻ തുടങ്ങിയതു് ഒരു ചിന്താപരീക്ഷണം വഴിയായിരുന്നു. ഭാരം കൂടിയതും ഭാരം കുറഞ്ഞതുമായ രണ്ടു് വസ്തുക്കളെ ഒരു ചെറിയ കമ്പിയോ നൂലോ വഴി പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചു് താഴേക്കു് വീഴാൻ അനുവദിച്ചാൽ, അരിസ്റ്റോട്ടിലിന്റെ തത്വപ്രകാരം, ഒരുവശത്തു്, അവ രണ്ടും ചേർന്നതുവഴി ഭാരം വർദ്ധിച്ചതുമൂലം, ഭാരം കൂടിയ വസ്തു വീഴുന്നതിനേക്കാൾ കൂടിയ വേഗതയിൽ അവ ഒരുമിച്ചു് താഴെ വീഴണം. മറുവശത്തു്, അതേ തത്വപ്രകാരം, ഭാരം കുറഞ്ഞ വസ്തുവിനു് സാവകാശമേ വീഴാൻ കഴിയൂ എന്നതിനാൽ, അതുവഴി, ആ വസ്തു ഭാരം കൂടിയ വസ്തുവിൽ ചെലുത്തുന്ന റീറ്റാർഡേഷൻ, ഒരുമിച്ചുള്ള വേഗതയെ പരിമിതപ്പെടുത്തുമെന്നതിനാൽ, അവ ഒരുമിച്ചു് താഴേയ്ക്കു് വീഴുന്നതു്, ഭാരം കൂടിയ വസ്തു ഒറ്റയ്ക്കു് വീഴുന്നതിനേക്കാൾ കുറഞ്ഞ വേഗതയിലാവണം! അതൊരു വൈരുദ്ധ്യമായതിനാൽ, ആ വൈരുദ്ധ്യം മൂലം, വസ്തുക്കളുടെ സ്വതന്ത്രമായ വീഴലിനു് (free fall) വേണ്ടുന്ന സമയവും അവയുടെ ഭാരവും തമ്മിൽ ബന്ധമില്ലെന്നും, വായു മൂലമുള്ള ഘർഷണം പോലുള്ള തടസ്സങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ വസ്തുക്കൾ ഒരേസമയമായിരിക്കണം താഴെ വീഴുന്നതെന്നും ഗാലീലൈ നിഗമിച്ചു. നിഗമനം ശാസ്ത്രീയമായ തെളിവല്ല.

ഫ്രീ ഫാൾ അതിവേഗം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു പ്രക്രിയ ആയതിനാൽ, ഇന്നത്തെപ്പോലെ സമയത്തിന്റെ ചെറിയ യൂണിറ്റുകൾവരെ അളക്കാൻ കഴിയുന്നതരം സ്റ്റോപ്പ് വാച്ചുകളൊന്നും ഇല്ലാതിരുന്ന അക്കാലത്തു്, തന്റെ നിഗമനം ശാസ്ത്രീയമായ പരീക്ഷണത്തിലൂടെ തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിച്ച ഗാലീലെയോ ഗാലീലൈ, ചെരിവും – തന്മൂലം വേഗതയും – യഥേഷ്ടം ക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ചെരിഞ്ഞ പ്രതലത്തെയാണു് (inclined plane) അതിനായി ഉപയോഗിച്ചതു്. (ചെരിഞ്ഞ പീസ ടവറിൽ നിന്നും വസ്തുക്കൾ താഴേയ്ക്കിട്ടാണു് ഗാലീലൈ തന്റെ ഫ്രീ ഫാൾ നിയമങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയതെന്ന കഥ സത്യത്തിൽ ഭോഷ്ക്കാണു്. കാരണം, പീസ ടവറിൽ നിന്നും വേണമെങ്കിൽ വസ്തുക്കൾ താഴേക്കിടാൻ കഴിയുമായിരുന്നു എന്നല്ലാതെ, അതുവഴി അവയുടെ ചലനത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ തിട്ടപ്പെടുത്തൽ അക്കാലത്തു് മിക്കവാറും അസാദ്ധ്യമായിരുന്നു.)

ചെരിഞ്ഞ പ്രതലത്തിലൂടെയുള്ള ചലനത്തിന്റെ വെർട്ടിക്കൽ കംപോണെന്റാണു് ഫ്രീ ഫാൾ എന്നതിനാൽ, വീഴുന്ന വസ്തുക്കളുടെ സമയവും (t), ദൂരവും (x), വേഗതയും (v) തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിശ്ചയിക്കാൻ ഗാലീലൈക്കു് കഴിഞ്ഞു. താഴേയ്ക്കു് വീഴുന്ന ഒരു വസ്തു തുല്യസമയാംശങ്ങളിൽ പിന്നിടുന്ന ദൂരം ക്വാഡ്രാറ്റിക്കായി (വർഗ്ഗാനുപാതത്തിൽ) പെരുകുമ്പോൾ (1, 4, 9, 16, 25 …), ആ ദൂരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കൂടുന്നതു് കോൺസ്റ്റന്റായാണെന്നു് (3, 5, 7, 9, …) ഗാലീലൈ മനസ്സിലാക്കി. ഈ വ്യത്യാസമാണു് വേഗത. ആ കണ്ടെത്തലിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ഫ്രീ ഫാൾ സംബന്ധിച്ച തന്റെ രണ്ടു് നിയമങ്ങൾ ഗാലീലൈ ക്രോഡീകരിച്ചു. ഒന്നു്, x = ½at². രണ്ടു്, v = at (a = constant = acceleration).

x = ½at² – (3)

x = ½at², x = ½ (v²/R) t² എന്നീ ഇക്വേഷനുകളിൽ നിന്നും, ½at² = ½ (v²/R) t² ആണെന്നും, തന്മൂലം, a = v²/R ആയിരിക്കണമെന്നും കാണാം.

ഇനി, F = m.a എന്ന ഇക്വേഷനിൽ a-ക്കു് പകരം v²/R ഉപയോഗിക്കുക. അപ്പോൾ, F = m.v²/R എന്നു് കിട്ടും.

R റേഡിയസുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവു് 2πR ആണു്. ആ വൃത്തത്തെ ഒരു വട്ടം ചുറ്റാൻ ഒരു വസ്തുവിനു് വേണ്ട സമയം T ആണെന്നു് കരുതിയാൽ, ചുറ്റലിന്റെ വേഗത v എന്നതു്, 2πR/T ആയിരിക്കും. അതുപയോഗിച്ചു് F = m.v²/R എന്ന ഇക്വേഷനെ മാറ്റിയെഴുതിയാൽ, ഒരു വസ്തുവിനു് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഒരു ഭ്രമണപഥത്തിൽ ചലിക്കാൻ ആവശ്യമായ സെൻട്രിപ്പെറ്റൽ ഫോഴ്സ് കിട്ടും. സെൻട്രിപ്പെറ്റൽ ഫോഴ്സിന്റെ ദിശ ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലേക്കായിരിക്കുമ്പോൾ, അതിനെതിരെ നേർവിപരീതവും തത്തുല്യവുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന ശക്തിയാണു് സെൻട്രിഫ്യൂഗൽ ഫോഴ്സ്. (കയറിൽ കെട്ടി കറക്കുന്ന ഒരു കല്ലു് പുറത്തേയ്ക്കു് തെറിച്ചുപോകാത്തതു് കയറിലൂടെ കയ്യിലേക്കുള്ള സെൻട്രിപ്പെറ്റൽ ഫോഴ്സ് മൂലവും, കൈവിട്ടാൽ കല്ലു് പുറത്തേക്കു് തെറിച്ചുപോകുന്നതു് സെൻട്രിഫ്യൂഗൽ ഫോഴ്സ് മൂലവുമാണു്.)

ഒരു ഭ്രമണപഥത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന സെൻട്രിപ്പെറ്റൽ ഫോഴ്സ്, F = [m(2π)²R²]/T²R – (4)

രണ്ടു് ഗ്രഹങ്ങളുടെ ഭ്രമണപഥങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഓരോന്നിന്റെയും സെൻട്രിപ്പെറ്റൽ ഫോഴ്സുകളെ (F₁, F₂) വെവ്വേറെ എഴുതിയാൽ:
F₁ = [m₁(2π)²R₁²]/T₁²R₁
F₂ = [m₂(2π)²R₂²]/T₂²R₂
ഇവയെ തമ്മിൽ ഹരിച്ചും, ചുരുക്കിയും F₁/F₂ = m₁R₁/[m₂R₂T₁²/T₂²] എന്നു് റീഅറേഞ്ച് ചെയ്യാം.

F₁/F₂ = m₁R₁/[m₂R₂T₁²/T₂²] – (5)

ഇവിടെയാണു് ഐസക്ക് ന്യൂട്ടനു് റ്റ്യുക്കൊ ബ്രാഹയുടെയും യൊഹാന്നസ് കെപ്ലറിന്റെയും തോളുകൾ സഹായം നല്കിയതു്. വാനഗോളങ്ങളെ അതിസൂക്ഷ്മമായി നിരീക്ഷിച്ചു് രേഖപ്പെടുത്തിയിരുന്ന ഒരു അസ്ട്രോണമർ ആയിരുന്നു Tycho Brahe. 1601-ൽ ബ്രാഹ അകാലനിര്യാണം പ്രാപിച്ചപ്പോൾ, 1600 മുതൽ ബ്രാഹയുടെ അസിസ്റ്റന്റായി പ്രവർത്തിക്കുകയായിരുന്ന Johannes Kepler ബ്രാഹ സൂക്ഷ്മനിരീക്ഷണങ്ങളിലൂടെ ശേഖരിച്ച വിവരങ്ങളുടെ ചുമതല ഏറ്റെടുത്തു. ഗ്രഹചലനങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച കെപ്ലറുടെ പ്രസിദ്ധമായ മൂന്നു് നിയമങ്ങൾ ബ്രാഹയുടെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രൂപീകരിക്കപ്പെട്ടവയാണു്. തന്റെ ജീവിതം നിഷ്ഫലമായെന്നു് വരരുതെന്നു് മരണക്കിടക്കയിൽ ബ്രാഹ കെപ്ലറോടു് നടത്തിയ അപേക്ഷകൂടിയായിരുന്നു ആ മൂന്നു് നിയമങ്ങളുടെ രൂപീകരണം വഴി നിറവേറ്റപ്പെട്ടതു്. ബ്രാഹയുടെ അപാരമായ കാഴ്ചശേഷിയിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായി, കെപ്ലറുടെ കാഴ്ചശേഷി പരിതാപകരമായിരുന്നു. പക്ഷേ, ബ്രാഹയുടെ നിരീക്ഷണങ്ങളെ ശാസ്ത്രീയ സമവാക്യങ്ങളായി ക്രോഡീകരിക്കാനുള്ള കഴിവു് കെപ്ലർക്കു് കൂടുതലുണ്ടായിരുന്നു. യാദൃച്ഛികമാവാം, ബ്രാഹയുടെ അസിസ്റ്റന്റായി കെപ്ലർ ചേർന്ന 1600-ൽ തന്നെയാണു് ജൊർഡാനോ ബ്രൂണോയെ കത്തോലിക്കാസഭ ജീവനോടെ ചിതയിൽ ചുട്ടുകൊന്നതും.

കെപ്ലറുടെ ഒന്നാം ഗ്രഹചലനനിയമപ്രകാരം, ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഭ്രമണപഥത്തിലൂടെ അതിന്റെ രണ്ടു് ഫോക്കസുകളിലൊന്നിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന സൂര്യനെയാണു് ഗ്രഹം ചുറ്റുന്നതു്. കെപ്ലറുടെ മൂന്നാം ഗ്രഹചലനനിയമപ്രകാരം, ഒരു ഗ്രഹത്തിന്റെ ഓർബിറ്റൽ പീര്യഡിന്റെ സ്‌ക്വയർ (വർഗ്ഗം) ആ ഓർബിറ്റിന്റെ “സെമി-മേജർ ആക്സിസിന്റെ” നീളത്തിന്റെ ക്യൂബിനു് (ത്രിവർഗ്ഗം) ആനുപാതികമായിരിക്കും. T² ∼ R³.
ഇതിനെ രണ്ടു് ഗ്രഹങ്ങളിലേക്കു് വ്യാപിപ്പിച്ചാൽ, T₁² ∼ R₁³, T₂² ∼ R₂³ എന്ന അനുപാതങ്ങളിലും, അവ തമ്മിലുള്ള ഹരിക്കൽ വഴി, T₁²/T₂² = R₁³/R₂³ എന്ന ഇക്വേഷനിലും എത്താം.

T₁²/T₂² = R₁³/R₂³ – (6)

മുകളിൽ നമ്മൾ കണ്ട, F₁/F₂ = m₁R₁/[m₂R₂T₁²/T₂²] എന്ന റിലേഷനിലെ T₁²/T₂²-നെ R₁³/R₂³ കൊണ്ടു് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്തു് വേണ്ട വെട്ടിച്ചുരുക്കലുകൾ നടത്തിയാൽ, F₁/F₂ = [m₁/R₁²] / [m₂/R₂²] എന്ന സമവാക്യമായി.

അങ്ങനെ, പല ഉന്നതരുടെ തോളുകളിൽ നിന്നതിന്റെ ഫലമായി, F₁, F₂ എന്നീ ശക്തികൾ തമ്മിലുള്ള റേഷ്യോയും, അതാതു് ഗ്രഹങ്ങളുടെ പിണ്ഡത്തിനു് അതിന്റെ ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ മദ്ധ്യബിന്ദുവിൽനിന്നുള്ള ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗവും തമ്മിലുള്ള റേഷ്യോകളുമായുള്ള ബന്ധത്തിലേക്കു് എത്തിച്ചേർന്നപ്പോഴാണു് മരത്തിൽ നിന്നും വീഴുന്ന ആപ്പിൾ ന്യൂട്ടന്റെ ശ്രദ്ധയിൽ പെട്ടതു്. ഭൂമിയ്ക്കു് ആപ്പിളുമായി ഒരു ഇന്ററാക്ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ആപ്പിളിനു് ഭൂമിയുമായും ഒരു ഇന്ററാക്ഷൻ ഉണ്ടാകണം എന്ന ചിന്തയിലേക്കു് അതുവഴി ന്യൂട്ടൺ എത്തിച്ചേർന്നു. ലോ ഓഫ് യൂണിവേഴ്സൽ ഗ്രാവിറ്റേഷനിലേക്കു് അവിടെനിന്നും പിന്നെ അധികം ദൂരമുണ്ടായിരുന്നില്ല.

ഏതൊരു സമവാക്യത്തിന്റെയും ഇരുവശങ്ങളിൽനിന്നും, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അംശത്തിൽനിന്നും ഛേദത്തിൽനിന്നും തുല്യമായ സംഖ്യകളെ വെട്ടിച്ചുരുക്കാമെന്നപോലെ, അവയെ വിപുലീകരിക്കാനുമാവും. ഉദാഹരണത്തിനു്, [m₁/R₁²] / [m₂/R₂²] എന്ന റേഷ്യോയെ മുകളിലും താഴെയും G എന്ന ഗ്രാവിറ്റേഷണൽ കോൺസ്റ്റന്റ് കൊണ്ടു് വിപുലീകരിച്ചു് [Gm₁/R₁²] / [Gm₂/R₂²] എന്നാക്കാം. അതുവഴി മൂല്യത്തിൽ മാറ്റമൊന്നും വരുന്നില്ല. സ്ഥിരമൂല്യമായ ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡത്തെയും (M) അതുപോലെതന്നെ ആ റേഷ്യോയിൽ തിരുകാം: [Gm₁M/R₁²] / [Gm₂M/R₂²].

F₁/F₂ = [Gm₁M/R₁²] / [Gm₂M/R₂²] – (7)

ഇതിൽ നിന്നും കിട്ടുന്ന, F₁ = Gm₁M/R₁², F₂ = Gm₂M/R₂² എന്നീ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നു് സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റുകൾ ഒഴിവാക്കിയാൽ, ന്യൂട്ടൺസ് ലോ ഓഫ് യൂണിവേഴ്സൽ ഗ്രാവിറ്റേഷനായി:

F = GmM/R²

ഗ്രാവിറ്റേഷണൽ കോൺസ്റ്റന്റ് G-യുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിച്ചതു് ന്യൂട്ടൻ മരിച്ചു് നാലു് വർഷങ്ങൾക്കു് ശേഷം ജനിച്ച ഹെൻറി കാവെൻഡിഷ് (Henry Cavendish) ആണു്. പലരും കരുതുന്നതുപോലെ, ഗ്രാവിറ്റേഷണൽ കോൺസ്റ്റന്റ് G-യും, ആക്സലറേഷൻ ഡ്യൂ റ്റു ഗ്രാവിറ്റി g-യും ഒന്നല്ല. അവയുടെ മൂല്യവും യൂണിറ്റുകളും തികച്ചും വ്യത്യസ്തമാണു്:
ഗ്രാവിറ്റേഷണൽ കോൺസ്റ്റന്റ് G = (6,67430 ± 0,00015).10⁻¹¹ m³/kg.sec²
ആക്സലറേഷൻ ഡ്യൂ റ്റു ഗ്രാവിറ്റി g = 9,8067 m/sec²

ന്യൂട്ടൻ എങ്ങനെയാണു് ഗുരുത്വാകർഷണനിയമം കണ്ടെത്തിയതു് എന്നറിയാതെ ലോകസമാധാനികൾ കോടിപതികളാകാതെയിരിക്കുകയോ, സഖാത്തികൾ ചൈനീസ് മതിൽ പണിയാതിരിക്കുകയോ, സഖാക്കൾ പൊട്ടാത്ത ചങ്ങലകൾ തീർക്കാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യരുതല്ലോ! ഒരു നല്ല കാര്യത്തിനുവേണ്ടി നീണ്ട പേജുകൾ ടൈപ്പ്‌ ചെയ്തു് വിരലുകൾ വ്രണമാക്കുന്നതിൽ കമ്മ്യൂണിസ്റ്റ് വിപ്ലവമുണ്ടെന്നു് കാൾ മാർക്‌സും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. സന്ദര്‍ഭവശാല്‍, അച്ചങ്ങായി മരിച്ചിട്ടു് ഇന്നേക്കു് 139 വർഷങ്ങളായി. വിശുദ്ധ പള്ളിമണികളേ, സമയം പോകുന്ന പോക്കേ!